Question

定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，f(0)≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1，且對(duì)任意的a、b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．

(1)證明f(0)＝1；

(2)證明對(duì)任意的x∈R，恒有f(x)＞0；

(3)證明函數(shù)y＝f(x)是R上的增函數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)取a＝b＝0，則f(0)＝f2(0)． 　　∵f(0)≠0，∴f(0)＝1; 　　(2)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1＞0成立， 　　當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(0)＝f(x－x)＝f(x)f(－x)＝1， 　　∴f(x)＝＞0．∴x∈R時(shí)，恒有f(x)＞0; 　　(3)設(shè)x1＜x2，則x2－x1＞0． 　　∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)． 　　∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1． 　　又f(x1)＞0，∴f(x2－x1)·f(x1)＞f(x1)． 　　∴f(x)是R上的增函數(shù)． 　　評(píng)述：本題主要考查抽象的思維推理能力．解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件，尤其是(3)中“f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]”是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，這里體現(xiàn)了構(gòu)造條件式向條件化歸的策略． 　　(3)也可以設(shè)x2＝x1＋t(t＞0)，f(x2)＝f(x1＋t)＝f(x1)·f(t)＞f(x1)．或者設(shè)x1＜x2，則＞1．又f(x1)＞0，f(x2)＞0，∴f(x2)＞f(x1)．

提示：

本題抽象函數(shù)的原型函數(shù)即為指數(shù)函數(shù)，可借助y＝2x理清解答的思路和方法．