Question

若sinx=

1-a

2

，x∈[

π

3

，π]上有兩個實數(shù)根，求a的范圍．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，得到當(dāng)x∈[

π

3

，π]時，在區(qū)間[

π

3

，π]上且x≠

π

2

時，存在兩個自變量x對應(yīng)同一個 sinx．由此得到若f（x）有兩個零點，即sinx=

1-a

2

，在x∈[

π

3

，π]上有兩個零點，由此建立關(guān)于a的不等式，解之即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵當(dāng)x∈[

π

3

，π]時，t=sinx在區(qū)間（

π

3

，

π

2

）上為增函數(shù)，
在區(qū)間（

π

2

，π）上為減函數(shù)，且sin

π

3

=sin

2π

3

∴當(dāng)x∈[

π

3

，

π

2

）且x≠

π

2

時，存在兩個自變量x對應(yīng)同一個sinx
即當(dāng)t∈[

3

2

，1）時，方程t=sinx有兩個零點
∵sinx=

1-a

2

，在x∈[

π

3

，π]上有兩個實數(shù)根，即

1-a

2

=sinx在x∈[

π

3

，π]上有兩個零點，
∴

1-a

2

∈[

3

2

，1），
解之得：a∈（-1，1-

3

]．

點評：本題給出三角函數(shù)式，求滿足函數(shù)在指定區(qū)間上有兩個零點的參數(shù)a的取值范圍．著重考查了三角函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．