Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，離心率為e．橢圓上一點(diǎn)C滿足：C在x軸上方，且CF₁⊥x軸．
（1）若OC∥AB，求e的值；
（2）連結(jié)CF₂并延長交橢圓于另一點(diǎn)D若$\frac{1}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求$\frac{|C{F}_{2}|}{|{F}_{2}D|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由CF₁⊥x軸．則C（-c，$\frac{^{2}}{a}$），根據(jù)直線的斜率相等，即可求得b=c，利用離心率公式即可求得e的值；
（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得D點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求得e²=$\frac{{λ}^{2}-1}{（{λ}^{2}+4λ+3）}$=1-$\frac{4}{λ+3}$，由離心率的取值范圍，即可求得λ的取值范圍．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2c，
由CF₁⊥x軸．則C（-c，y₀），y₀＞0，
由C在橢圓上，則y₀=$\frac{^{2}}{a}$，則C（-c，$\frac{^{2}}{a}$），
由OC∥AB，則-$\frac{^{2}}{ac}$=k_OC=k_AB=-$\frac{a}$，則b=c，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
e的值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）設(shè)D（x₁，y₁），設(shè)$\overrightarrow{C{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}D}$，
C（-c，$\frac{^{2}}{a}$），F(xiàn)₂（c，0），
故$\overrightarrow{C{F}_{2}}$=（2c，-$\frac{^{2}}{a}$），$\overrightarrow{{F}_{2}D}$=（x₁-c，y₁），
由$\overrightarrow{C{F}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}D}$，則2c=λ（x₁-c），-$\frac{^{2}}{a}$=λy₁，則D（$\frac{λ+2}{λ}$c，-$\frac{^{2}}{λa}$），
由點(diǎn)D在橢圓上，則（$\frac{λ+2}{λ}$）2e²+$\frac{^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}$=1，整理得：（λ²+4λ+3）e²=λ²-1，
由λ＞0，e²=$\frac{{λ}^{2}-1}{（{λ}^{2}+4λ+3）}$=$\frac{λ-1}{λ+3}$=1-$\frac{4}{λ+3}$，
由$\frac{1}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\frac{1}{4}$≤e²≤$\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{4}$≤1-$\frac{4}{λ+3}$≤$\frac{1}{2}$，
解得：$\frac{7}{3}$≤λ≤5，
∴$\frac{|C{F}_{2}|}{|{F}_{2}D|}$的取值范圍[$\frac{7}{3}$，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，橢圓的離心率公式，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．