試證明以下定理:
定理:已知凸四邊形ABCD的四邊分別為AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,兩對(duì)角線分別為AC=m,BD=n,則cos(A+C)=cos(B+D)=.
證明:如下圖,設(shè)AC與BD相交于O點(diǎn), 在△ABD中,由余弦定理,得n2=a2+d2-2adcosA,① 在△BCD中,由余弦定理,得n2=b2+c2-2bccosC.② �、冢�,得adcosA-bccosC= 設(shè)四邊形ABCD的面積為S,則S=S△ABD+S△BCD= 即2S=adsinA+bcsinC. �、�2+④2,得(ad)2+(bc)2-2adbccos(A+C)= 在△BOC中,設(shè)∠BOC=α, 由余弦定理,得b2=OB2+OC2-2OB·OCcosα. 在△COD中,有c2=OC2+OD2-2OC·ODcos(π-α); 在△DOA中,有d2=OD2+OA2-2OD·OAcosα; 在△AOB中,有a2=OA2+OB2-2OA·OBcos(π-α). 于是有b2-c2+d2-a2=-2mncosα, 即(b2-c2+d2-a2)2=4m2n2cos2α,cos2α= 而S四邊形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOA= 即4S2=m2n2sin2α=m2n2(1-cos2α)=m2n2[1- 代入⑤式,有(ad)2+(bc)2-2adbccos(A+C) �。� =m2n2+ �。�m2n2+(a2-b2)(d2-c2) =m2n2+(ad)2-(bd)2-(ac)2+(bc)2, 即 而A+B+C+D=2π, ∴cos(A+C)=cos[2π-(B+D)]=cos(B+D), 即cos(A+C)=cos(B+D)= |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x+1-a |
a-x |
1 |
2 |
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1 | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
圖3-1
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