Question

已知定義在（-1，1）上的奇函數f（x）．在x∈（-1，0）時，f（x）=2^x+2^-x．
（1）試求f（x）的表達式；
（2）用定義證明f（x）在（-1，0）上是減函數；
（3）若對于x∈（0，1）上的每一個值，不等式t•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：指數函數綜合題,奇偶性與單調性的綜合

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數可得f（0）=0，x∈（0，1）時，f（x）=-f（-x）=-（2^x+2^-x）；從而寫出f（x）的表達式；
（2）取值，作差，化簡，判號，下結論五步；
（3）對于x∈（0，1）上的每一個值，不等式t•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立轉化為對于x∈（0，1）上的每一個值，不等式t＞-

4x-1

4x+1

恒成立，從而可得．

解答： 解：（1）∵f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，
∴f（0）=0，
設∈（0，1），則-x∈（-1，0），則
f（x）=-f（-x）
=-（2^x+2^-x），
故f（x）=

2x+2-x，x∈(-1，0) 0，x=0 -(2x+2-x)，x∈(0，1)

；
（2）任取x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=2x1+2-x1-（2x2+2-x2）
=

(2x1-2x2)(2x12x2-1)

2x12x2

，
∵x₁＜x₂＜0，
∴2x1-2x2＜0，0＜2x12x2＜1，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，
故f（x）在（-1，0）上是減函數；
（3）由題意，t•2^x•f（x）＜4^x-1可化為
t•2^x•（-（2^x+2^-x））＜4^x-1，
化簡可得，t＞-

4x-1

4x+1

，
令g（x）=-

4x-1

4x+1

=-1+

2

4x+1

，
∵x∈（0，1），
∴g（x）＜-1+

2

40+1

=0，
故對于x∈（0，1）上的每一個值，不等式t•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立可化為
t≥0．

點評：本題考查了函數的性質的綜合應用及恒成立問題的處理方法，屬于難題．