Question

如圖，三棱柱ABC-A₁BC₁的底面是邊長2的正三角形，側面與底面
垂直，且長為

3

，D是AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求證：BD⊥平面AA₁C₁C；
（3）求點A到平面A₁BD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）連結AB₁交A₁B于點M，連結DM，證出DM為△AB₁C的中位線，得DM∥B₁C，利用線面平行的判定定理，即可證出B₁C∥平面A₁BD；
（2）利用等邊三角形“三線合一”證出BD⊥AC，根據(jù)AA₁⊥平面ABC證出BD⊥AA₁，從而證出BD⊥平面ACC₁A₁；
（3）利用等體積法，求點A到平面A₁BD的距離．

解答： （1）證明：連結AB₁，交A₁B于點M，連結DM
∵四邊形AA₁B₁B為平行四邊形，
∴M為AB₁的中點，
∵D是AC的中點，可得DM為△AB₁C的中位線，
∴DM∥B₁C，
∵DM?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD；
（2）證明：∵△ABC中，AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴BD⊥AA₁，
∵AC、AA₁是平面ACC₁A₁內的相交直線，
∴BD⊥平面ACC₁A₁；
（3）解：在△A₁BD中，BD⊥A₁D，BD=

3

，A₁D=

2

，
∴S△A1BD=

1

2

×

3

×

2

=

6

2

，
在△A₁BA中，AB⊥A₁A，A₁A=

3

，AB=2，
∴S△ABA1=

1

2

×2×

3

=

3

，
設點A到平面A₁BD的距離是h，則
∵D到平面A₁BA的距離為

3

2

，
∴

1

3

×

3

×

3

2

=

1

3

×

6

2

h，
∴h=

6

2

，即點A到平面A₁BD的距離是

6

2

．

點評：本題在直三棱柱中證明線面平行和線面垂直，考查點A到平面A₁BD的距離，考查了直三棱柱的性質和空間平行、垂直位置關系的判定與證明等知識，屬于中檔題．