Question

10．已知函數f（x）=lnx+1．
（1）①證明：當x＞0時，f（x）≤x（當且僅當x=1時取得等號）；
②當n≥2，n∈N^*時，證明：$\sum_{k=1}^n{\frac{lnk}{k+1}}＜\frac{n（n-1）}{4}$；
（2）設$g（x）=ax+（a-1）•\frac{1}{x}-lnx-1$，若g（x）≥0對x＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①先構造函數m（x）=lnx+1-x，然后求導，根據導數符號即可求出函數m（x）的最大值為0，即得到m（x）≤0，從而證得f（x）≤x；
②由①可知，ln（x-1）≤x-2，令x-1=t，則lnt≤t-1，再用賦值法，取t=n²，則lnn²≤n²-1，即lnn≤$\frac{（n+1）（n-1）}{2}$，由此即可證明結論成立；
（2）根據x＞0，ax+（a-1）•$\frac{1}{x}$-lnx-1≥0便可解得a≥$\frac{lnx+1+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}$，而根據上面知lnx+1≤x恒成立，從而便可求得$\frac{lnx+1+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}$的最大值，進而即可得出實數a的取值范圍．

解答 （1）證明：①構造函數m（x）=f（x）-x=lnx+1-x，
m′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$=0（x＞0）得x=1；
當x∈（0，1）時，m'（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，m'（x）＜0；
∴[m（x）]_max=m（1）=0；
∴m（x）≤0；
∴f（x）≤x；（當且僅當x=1時取得等號）；
②由①可知，ln（x-1）≤x-2，x＞1，
令x-1=t，則lnt≤t-1，t＞0，
取t=n²，則lnn²≤n²-1，即lnn≤$\frac{（n+1）（n-1）}{2}$，
故$\frac{lnn}{n+1}$≤$\frac{n-1}{2}$，n∈N^*，n≥2
∴$\sum _{k=1}^{n}\frac{lnk}{k+1}$≤$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{2}$+…+$\frac{n-1}{2}$=$\frac{n（n-1）}{4}$
（2）解：若g（x）≥0對x＞0恒成立等價于a≥$\frac{lnx+1+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}$對x＞0恒成立；
記G（x）=$\frac{lnx+1+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}$，問題等價于a≥G（x）_max；
由（1）知lnx+1≤x（當且僅當x=1時取得等號）；
∴G（x）=$\frac{lnx+1+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{x+\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}$=1（當且僅當x=1時取得等號）；
故G（x）_max=1，所以a≥1；
∴實數a的取值范圍為[1，+∞）．

點評 考查構造函數解決問題的方法，根據函數導數符號求函數最值的方法和過程，不等式的性質，在解決第二問時能用上第一問的結論很巧妙．