Question

19．過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)，若|AF|=5，則△AOF的面積為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），算出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)解消去x可得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系算出y₁y₂=-4．根據(jù)|AF|=5利用拋物線的拋物線的定義算出x₁=4，可得y₁=±4，進(jìn)而算出|y₁-y₂|=5，最后利用三角形的面積公式加以計算，即可得到△AOB的面積．

解答 解：根據(jù)題意，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0）．
設(shè)直線AB的斜率為k，可得直線AB的方程為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$消去x，得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁y₂=-4．
根據(jù)拋物線的定義，得|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$=x₁+1=5，解得x₁=4，
代入拋物線方程得：y₁²=4×4=16，解得y₁=±4，
∵當(dāng)y₁=4時，由y₁y₂=-4得y₂=-1；當(dāng)y₁=-4時，由y₁y₂=-4得y₂=1，
∴|y₁-y₂|=5，即AB兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對值等于5．
因此△AOB的面積為：S=_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁|+$\frac{1}{2}$|OF|•|y₂|
=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×5=$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題給出拋物線經(jīng)過焦點(diǎn)F的弦AB，在已知AF長的情況下求△AOB的面積．著重考查了拋物線定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．