Question

4．已知橢圓C的焦點是${F_1}（-2\sqrt{2}，0），{F_2}（2\sqrt{2}，0）$，其上的動點P滿足$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=4\sqrt{3}$．點O為坐標原點，橢圓C的下頂點為R．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設過點（0，1）且斜率為k的直線l₂交橢圓C于M，N兩點，試探究：無論k取何值時，$\overrightarrow{RM}•\overrightarrow{RN}$是否恒為定值．是求出定值，不是說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設出橢圓方程，由已知求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）寫出直線l₂的方程，聯立直線方程和橢圓方程，利用根與系數的關系得到M，N兩點橫坐標的和與積，由向量數量積的坐標表示求得$\overrightarrow{RM}•\overrightarrow{RN}$恒為定值．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
∵橢圓上的動點P滿足$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=4\sqrt{3}$，
∴2a=4$\sqrt{3}$，a=2$\sqrt{3}$．
又c=2$\sqrt{2}$，∴a²=12，b²=a²-c²=4，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）設l₂：y=kx+1，聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，
消去y得（1+3k²）x²+6kx-9=0，
又∵點（0，1）在橢圓C內，∴△＞0恒成立．
設M （x₁，kx₁+1），N（x₂，x₂+1），
則x₁+x₂=-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
易知R（0，-2），$\overrightarrow{RM}$=（x₁，kx₁+3），$\overrightarrow{RN}$=（x₂，kx₂+3），
∴$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$=x₁x₂+（kx₁+3）（kx₂+3）=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9
=（1+k²）•（-$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$）+3k•（-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$）+9=0，與k無關．
則無論k取何值時，$\overrightarrow{RM}•\overrightarrow{RN}$恒為定值0．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線和圓錐曲線間的關系，注意運用聯立方程組，運用韋達定理，考查平面向量數量積的坐標表示，化簡整理的運算能力，是中檔題．