Question

在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，已知a₃=4，前三項的和為28．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：b_n=log₂a_n，b₁+b₂+…+b_n=S_n，求取最大時n的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)公比為q，則有a₃=4，前三項的和為28，
知，
解得，或．
∵等比數(shù)列{a_n}各項都為正數(shù)，
∴不合題意，舍去．
∴，
．
（Ⅱ）∵，
∴b_n=log₂a_n==5-n．
S_n=b₁+b₂+…+b_n=4+3+2+…+（5-n）
=．
∴，
∴=+…+
=
=-（）
=．
∴n=4時，取最大值8．
分析：（Ⅰ）設(shè)公比為q，由題設(shè)知，解得，或．（舍）．由此能求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）b_n=log₂a_n==5-n．S_n=4+3+2+…+（5-n）=．所以，==．由此能求出取最大時n的值．
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．即在等比數(shù)列中，依次每k項之和仍成等比數(shù)列．解題時要認(rèn)真審題，注意配方法的靈活運用．