Question

等比數(shù)列{a_n}中，a₁=cosx，x∈（0，π），公比q=sinx，若

lim

n→+∞

(a1+a2+…+an)=

3

，則x=

 

．

Answer 1

分析：由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列可知，sinx≠1時(shí)，由x∈（0，π）可得sinx∈（0，1）．利用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式先求
a1+a2+…+an=

cosx(1-sinnx)

1-sinx

代入極限運(yùn)算可得

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

lim

n→∞

cosx(1-sinnx)

1-sinx

=

cosx

1-sinx

=

3

從而可得cosx+

3

sinx=

3

利用輔助角公式可得sin（x+

π

6

）=

3

2

結(jié)合x∈（0，π）且sinx≠1可求x

解答：解：因?yàn)閿?shù)列{a_n}為等比數(shù)列
當(dāng)sinx=1，cosx=0不符合等比數(shù)列的條件，故舍去
當(dāng)sinx≠1時(shí)，由x∈（0，π）可得sinx∈（0，1）
由等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式可得，
a1+a2+…+an=

cosx(1-sinnx)

1-sinx

∴

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

lim

n→∞

cosx(1-sinnx)

1-sinx

=

cosx

1-sinx

=

3

∴cosx+

3

sinx=

3

      即 sin（x+

π

6

）=

3

2

∵x∈（0，π）且sinx≠1∴x=

π

6

故答案為：

π

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的定義及前 n項(xiàng)和公式的運(yùn)用，還考查了極限及運(yùn)算，三角函數(shù)的輔助角公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合．