Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．設(shè)數(shù)列，{b_n}的前n項和為T_n
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項；
（2）若λa_n-a_n+1≤0對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）求證：對任意n≥2的整數(shù)，
（4）是否存在實數(shù)M，使得對任何的n∈N^*，T_n＜M恒成立，如果存在求出最小的M，如果不存在請說明理由．．（此問不做）

Answer 1

解：（1）將3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：
所以是以=1為首項，3為公差的等差數(shù)列
所以：，即
（2）若λa_n-a_n+1≤0恒成立，即恒成立整理得：
設(shè)，作圖或求導(dǎo)可知，f（x）在上單調(diào)遞增，
即當(dāng)n=1時，
所以λ的取值范圍為
（3）①n=2時，左邊=，所以不等式成立；
②假設(shè)n=k時，
則n=k+1時，
要證：n=k+1時也成立，只需證????顯然成立．
所以n=k+1時不等式也成立
綜合①②對任何的n≥2的整數(shù)
（4）假設(shè)存在實數(shù)M使得T_n＜M，
由，得
所以，T_n=b₁+b₂+…+b_n=
即，
所以若T_n＜M，則，對于事先給定M這是不可能的
所以不存在M使得對任何的n∈N^*，T_n＜M
分析：（1）將3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：，即證得結(jié)論，同時求出數(shù)列的通項公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）求得的結(jié)果代入λa_n-a_n+1≤0，分離參數(shù)，得到轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；（3）把（1）求得的結(jié)果代入，求得數(shù)列{b_n}的通項公式，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明；（4）假設(shè)存在實數(shù)M使得T_n＜M，根據(jù)假設(shè)，利用不等式進行放縮，推出矛盾，即可說明結(jié)論．
點評：此題是個難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強，特別是問題（4）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問題結(jié)合起來，能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．