Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，AB=1，AD，且∠BAD=45°，以BD為折線，把△ABD折起，使AB⊥DC，連接AC，得到三棱錐A﹣BCD.

(1)求證：平面ABD⊥平面BCD；

(2)求二面角B﹣AC﹣D的大小.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)60°.

【解析】

（1）通過(guò)證明AB⊥平面BCD，得面面垂直；

（2）取BC中點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交AC于點(diǎn)F，連接DE，DF，EF，證明∠DFE為所求二面角，即可計(jì)算求解.

(1)證明：∵AB=1，AD，且∠BAD=45°，

∴BD=1，則AD2=AB2+BD2，即AB⊥BD，

又AB⊥DC，BD∩DC=D，且都在平面BCD內(nèi)，

∴AB⊥平面BCD，

∵AB在平面ABD內(nèi)，

∴平面ABD⊥平面BCD；

(2)取BC中點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC交AC于點(diǎn)F，連接DE，DF，EF，

∵BD=CD=1，

∴DE⊥BC，

∵AB⊥平面BCD，DE平面BCD，

∴AB⊥DE，

∵AB∩BC=B，且都在平面ABC內(nèi)，

∴DE⊥平面ABC，

∵AC平面ABC，

∴AC⊥DE，

又EF⊥AC，DE∩EF=E，且都在平面DEF內(nèi)，

∴AC⊥平面DEF，

∴∠DFE為所求二面角，

在Rt△DEF中，∠DEF=90°，，，

∴，

∴∠DFE=60°，即二面角B﹣AC﹣D的大小為60°.