Question

在△ABC中，已知a=3，b=2，cosA=-

4

5

．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）求sin（A-B）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinA的值，再由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值；
（Ⅱ）由cosA的值小于0，得到A為鈍角，可得B為銳角，根據(jù)sinB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出cosB的值，進而利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡sin（A-B）后，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，cosA=-

4

5

，
∴sinA=

1-cos2A

=

1-(- 4 5 )2

=

3

5

，…（2分）
∵a=3，b=2，sinA=

3

5

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

b

a

sinA=

2

3

×

3

5

=

2

5

；…（6分）
（Ⅱ）∵cosA=-

4

5

，∴角A為鈍角，從而角B為銳角，
∵sinB=

2

5

，
∴cosB=

1-sin2B

=

1-( 2 5 )2

=

21

5

，…（8分）
則sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=

3

5

×

21

5

+

4

5

×

2

5

=

3 21 +8

25

．…（12分）

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．