Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=3ⁿ-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃（1+S_n+1），求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出數(shù)列首項(xiàng)，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求解數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）寫出b_n=log₃（1+S_n+1）并整理，可得數(shù)列{a_nb_n}的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和為T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3¹-1=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{3^n}-1）-（{3^{n-1}}-1）=2×{3^{n-1}}$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2也滿足${a_n}=2×{3^{n-1}}$．
∴${a_n}=2×{3^{n-1}}（n∈{N^*}）$；
（2）${b_n}={log_3}（1+{S_{n+1}}）={log_3}{3^{n+1}}=n+1$，
∴a_nb_n =2（n+1）×3^n-1．
則${T_n}=2[2×{3^0}+3×{3^1}+…+（n+1）×{3^{n-1}}]$，
令${R}_{n}=2×{3}^{0}+3×{3}^{1}+…+n×{3}^{n-2}+（n+1）×{3}^{n-1}$，
則$3{R}_{n}=2×{3}^{1}+3×{3}^{2}+…+n×{3}^{n-1}+（n+1）×{3}^{n}$，
兩式作差可得：$-2{R}_{n}=2+{3}^{1}+{3}^{2}+…+{3}^{n-1}-（n+1）×{3}^{n}$=$2+\frac{3（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-3}-（n+1）×{3}^{n}$，
∴${R}_{n}=\frac{（2n+1）×{3}^{n}-1}{4}$，
則${T_n}=\frac{{（2n+1）×{3^n}-1}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．