Question

6．定義m⊕n=n^m（m＞0，n＞0），已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=$\frac{n⊕3}{3⊕n}$（n∈N^*），若對任意正整數(shù)n，都有a_n≥${a_{n_0}}$（n₀∈N^*），則${a_{n_0}}$的值為（　　）

• A． 3
• B． $\frac{9}{8}$
• C． 1
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 由題意可得：a_n=$\frac{n⊕3}{3⊕n}$=$\frac{{3}^{n}}{{n}^{3}}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$3（1-\frac{1}{n+1}）^{3}$=f（n），可知：f（n）關于n單調(diào)遞增，經(jīng)過假設可得：a₁＞a₂＞a₃＜a₄＜a₅＜…，即可得出．

解答 解：由題意可得：a_n=$\frac{n⊕3}{3⊕n}$=$\frac{{3}^{n}}{{n}^{3}}$，
$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{3}^{n+1}}{（n+1）^{3}}$×$\frac{{n}^{3}}{{3}^{n}}$=$3（1-\frac{1}{n+1}）^{3}$=f（n），則f（n）關于n單調(diào)遞增，
n=1時，f（1）=$\frac{3}{8}$＜1；n=2時，f（2）=$\frac{8}{9}$＜1；n≥3時，f（n）＞1．
∴a₁＞a₂＞a₃＜a₄＜a₅＜…，
∴n₀=3時，滿足：對任意正整數(shù)n，都有a_n≥${a_{n_0}}$（n₀∈N^*），
${a}_{{n}_{0}}$=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{3}}$=1．
故選：C．

點評 本題考查了遞推關系、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．