Question

已知函數(shù)F（x）=（x²-ax+1）e^x，直線l：y=2x+b，其中a，b∈R．
（1）若曲線y=F（x）在點(diǎn)（0，F(xiàn)（0））處的切線為l，求a，b的值；
（2）求函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上不單調(diào)，求a得取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由F′（0）=1-a=2，F(xiàn)（0）=1=b．
（2）令F′（x）≥0，則x²+（2-a）x+1-a≥0，化為（x+1）[x+（1-a）]≥0，對(duì)a分類討論即可得出．
（3）由于函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上不單調(diào)，可得F′（x）=0在區(qū)間（0，2）上有解．可得a=x+1．
即可解出．

解答： 解：（1）F′（x）=（x²+（2-a）x+1-a）e^x，∴F′（0）=1-a=2，解得a=-1．
F（0）=1=b，∴a=-1，b=1．
（2）令F′（x）≥0，則x²+（2-a）x+1-a≥0，化為（x+1）[x+（1-a）]≥0，
當(dāng)當(dāng)a=0時(shí)，化為（x+1）²≥0，此時(shí)函數(shù)F（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜0時(shí)，-1＞a-1，解得x≥-1或x≤a-1，此時(shí)函數(shù)F（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a-1]，[-1，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，-1＜a-1，解得x≤-1或x≥a-1，此時(shí)函數(shù)F（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1]，[a-1，+∞）；
（3）∵函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）上不單調(diào)，
∴F′（x）=0在區(qū)間（0，2）上有解．
∴x²+（2-a）x+1-a=0，
化為a=x+1．
∴1＜a＜3．
∴a得取值范圍是（1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．