Question

當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，利用教材習(xí)題中的探究結(jié)論：“當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，0＜sinx＜x＜

π

2

”，比較cos（sinx），cosx和sin（cosx）的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)線

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，0＜sinx＜x＜

π

2

，以及在（0，

π

2

）上正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性，得到cos（sinx），cosx和sin（cosx）的大小關(guān)系．

解答： 解：∵當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，0＜sinx＜x＜

π

2

，y=cosx在（0，

π

2

）上單調(diào)遞減，∴cos（sinx）＞cosx．
又因?yàn)閟inx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈（0，

π

2

），∴

π

4

＜x+

π

4

＜

3π

4

，∴

2

2

＜sin（x+

π

4

）≤1，
∴1＜

2

sin（x+

π

4

）≤

2

＜

π

2

，∴0＜sinx+cosx＜

π

2

，即

π

2

＞

π

2

-sinx＞cosx＞0．
∵y=sinx在（0，

π

2

）上單調(diào)增，∴sinx（

π

2

-sinx）＞sin（cosx），即cos（sinx）＞sin（cosx）．
故cos（sinx）是所給的三個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)．
對于cosx和sin（cosx），由于cosx∈（0，

π

2

），故有sin（cosx）＜cosx．
綜上可得，cos（sinx）＞cosx＞sin（cosx）．

點(diǎn)評：本題主要考查結(jié)論：當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，0＜sinx＜x＜

π

2

，以及在（0，

π

2

）上，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．