Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，且，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）見解析

【解析】分析：（1）求出函數(shù)的定義域為及函數(shù)的導數(shù)，令，分和分類討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求出函數(shù)的兩個極值點，轉化為，即證明，轉化為證明成立，設函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

詳解：（Ⅰ）由，得：

設函數(shù)

當時，即時，，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

當時，即時，

令得，，

當時，即時，在 上，，;

在上，，.

所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當時，即時，在上，，;

在上，，.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）證明：∵函數(shù)有兩個極值點，且，

∴有兩個不同的正根，

∴ ∴.

欲證明，即證明，

∵，

∴證明成立，等價于證明成立.

∵，∴.

設函數(shù)，

求導可得.

易知在上恒成立，

即在上單調(diào)遞增，

∴，即在上恒成立，

∴函數(shù)有兩個極值點，且時，.