【題目】如圖，以橢圓（）的右焦點(diǎn)為圓心，為半徑作圓（其中為已知橢圓的半焦距），過(guò)橢圓上一點(diǎn)作此圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為.

（1）若，為橢圓的右頂點(diǎn)，求切線(xiàn)長(zhǎng)；

（2）設(shè)圓與軸的右交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作斜率為（）的直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若恒成立，且.求：

（�。�的取值范圍；

（ⅱ）直線(xiàn)被圓所截得弦長(zhǎng)的最大值.

【答案】（1）；（2）（�。�，（ⅱ）.

【解析】

（1）利用求得，進(jìn)而得到，利用勾股定理可求得切線(xiàn)長(zhǎng)；

（2）（ⅰ）由恒成立可知；根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)的求解可知當(dāng)最小時(shí)，最小，從而構(gòu)造出不等式求得的范圍；

（ⅱ）設(shè)直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立后寫(xiě)出韋達(dá)定理的形式，同時(shí)利用韋達(dá)定理表示出，根據(jù)垂直關(guān)系可得，從而構(gòu)造等式求得，得到直線(xiàn)方程；利用垂徑定理可將所求弦長(zhǎng)化為，采用換元法，可將等式右側(cè)變?yōu)殛P(guān)于的函數(shù)的形式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值，即為所求弦長(zhǎng)的最大值.

（1）由得：

當(dāng)為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，

又圓的半徑為

（2）（ⅰ）當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值

，則，即

又，，解得：

即的取值范圍為

（ⅱ）由題意得：，則直線(xiàn)

聯(lián)立得：

設(shè)，，則，

，整理可得：

又 直線(xiàn)，即

圓心距離，又半徑

直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為

令，則，令

當(dāng)，即時(shí)，

即直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，射線(xiàn)和均為筆直的公路，扇形區(qū)域（含邊界）是一蔬菜種植園，其中、分別在射線(xiàn)和上.經(jīng)測(cè)量得，扇形的圓心角（即）為、半徑為1千米.為了方便菜農(nóng)經(jīng)營(yíng)，打算在扇形區(qū)域外修建一條公路，分別與射線(xiàn)、交于、兩點(diǎn)，并要求與扇形弧相切于點(diǎn).設(shè)（單位：弧度），假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì).

（1）試將公路的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)，并寫(xiě)出的取值范圍；

（2）試確定的值，使得公路的長(zhǎng)度最小，并求出其最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某地?cái)M建造一座體育館，其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓線(xiàn)如圖所示：曲線(xiàn)是以點(diǎn)為圓心的圓的一部分，其中，是圓的切線(xiàn)，且，曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一部分，，且恰好等于圓的半徑.

（1）若米，米，求與的值；

（2）若體育館側(cè)面的最大寬度不超過(guò)75米，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，B是AC的中點(diǎn)，，P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且．有以下結(jié)論：

①當(dāng)x＝0時(shí)，y∈[2，3]；

②當(dāng)P是線(xiàn)段CE的中點(diǎn)時(shí)，；

③若x+y為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線(xiàn)段；

④x﹣y的最大值為﹣1；

其中你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)為_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若存在與正實(shí)數(shù)，使得成立，則稱(chēng)函數(shù)在處存在距離為的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，把具有這一性質(zhì)的函數(shù)稱(chēng)之為“型函數(shù)”．

（1）設(shè)，試問(wèn)是否是“型函數(shù)”？若是，求出實(shí)數(shù)的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）設(shè)對(duì)于任意都是“型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)各項(xiàng)均為整數(shù)的無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足：，且對(duì)所有，均成立.

（1）寫(xiě)出的所有可能值（不需要寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）；

（2）若是公差為1的等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；

（3）證明：存在滿(mǎn)足條件的數(shù)列，使得在該數(shù)列中，有無(wú)窮多項(xiàng)為2019.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直線(xiàn)平面，四邊形是正方形，且，點(diǎn)，，分別是線(xiàn)段，，的中點(diǎn).

(1)求異面直線(xiàn)與所成角的大小(結(jié)果用反三角表示)；

(2)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使，若存在，求出的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若

(1)當(dāng)時(shí),設(shè)所對(duì)應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長(zhǎng)度為(閉區(qū)間的長(zhǎng)度為),試求的最大值；

(2)是否存在這樣的使得當(dāng)時(shí),?若存在,求出的取值范圍；若不存在,說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知分別為的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，其面積，在等差數(shù)列中，，公差．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

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