Question

5．在平面直角坐標系中，已知${A_1}（-\sqrt{2}，0）$，${A_2}（\sqrt{2}，0）$，P（x，y），M（x，-2），N（x，1），若實數(shù)λ使得${λ^2}\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{{A_1}P}•\overrightarrow{{A_2}P}$（O為坐標原點），求P點的軌跡方程，并討論P點的軌跡類型．

Answer 1

分析 利用向量條件得到（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），分類討論得到P點的軌跡類型．

解答 解：由條件知$\overrightarrow{OM}=（x，1）$，$\overrightarrow{ON}=（x，-2）$，$\overrightarrow{{A_1}P}=（x+\sqrt{2}，y）$，$\overrightarrow{{A_2}P}=（x-\sqrt{2}，y）$，
∴${λ^2}\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{{A_1}P}•\overrightarrow{{A_2}P}$，λ²（x²-2）=（x²-2）+y²，
化簡得（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），
（1）當λ=±1時，方程為y=0，軌跡為一條直線；
（2）當λ=0時，方程為x²+y²=2，軌跡為圓；
（3）當λ∈（-1，0）∪（0，1）時，方程為$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{{2（1-{λ^2}）}}=1$，軌跡為橢圓；
（4）當λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，方程為$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{{2（{λ^2}-1）}}=1$，軌跡為雙曲線．

點評 本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．