Question

3．已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=120°，P、Q分別是其對角線AC、BD上的動點(diǎn)，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PQ}$的最大值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，利用菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出．

解答 解：如圖所示，
在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，
∴A（0，$\sqrt{3}$），B（-1，0），C（0，-$\sqrt{3}$），
D（1，0），
設(shè)Q（m，0），-1≤m≤1，P（0，n），-$\sqrt{3}$≤n≤$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，n-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PQ}$=（m，-n），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PQ}$=$\sqrt{3}$n-n²=-（n-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
當(dāng)n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，有最大值，最大值為$\frac{3}{4}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．