Question

17．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax（a∈R），且曲線f（x）在x=$\frac{1}{2}$處的切線與直線y=-$\frac{3}{4}$x-1平行．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間[-3，$\sqrt{3}$]上有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩直線平行的關(guān)系求得a的值，由此求得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖象與y=m有三個公共點，由此結(jié)合圖象求得m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x＞0時，f′（x）=x²+a，
因為曲線f（x）在x=$\frac{1}{2}$處的切線與直線y=-$\frac{3}{4}$x-1平行，
所以f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$+a=-$\frac{3}{4}$，解得a=-1，
所以f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，
設(shè)x＜0則f（x）=-f（-x）=$\frac{1}{3}$x³-x，
又f（0）=0，所以f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（-3）=-6，f（-1）=$\frac{2}{3}$，f（1）=-$\frac{2}{3}$，f（$\sqrt{3}$）=0，
所以函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間[-3，$\sqrt{3}$]上有三個零點，
等價于函數(shù)f（x）在[-3，$\sqrt{3}$]上的圖象與y=m有三個公共點．
結(jié)合函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，$\sqrt{3}$]上大致圖象可知，實數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{2}{3}$，0）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．