Question

（2013•長寧區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a_n=

1

3

a_n-1+（

1

3

）ⁿ（n≥2），且n∈N^*），則數(shù)列{a_n}中項的最大值為

1

．

Answer 1

分析：把給出的數(shù)列遞推式a_n=

1

3

a_n-1+（

1

3

）ⁿ變形后得到新數(shù)列{3ⁿa_n}，該數(shù)列是以3為首項，以1為公比的等比數(shù)列，求出其通項公式后，進一步求出數(shù)列{a_n}的通項公式，結合數(shù)列的函數(shù)特性分析出其單調(diào)性，從而求出數(shù)列{a_n}中項的最大值．

解答：解：由a_n=

1

3

a_n-1+（

1

3

）ⁿ（n≥2），
得：3nan=3n-1an-1+1（n≥2），
即3nan-3n-1an-1=1（n≥2），
所以，{3ⁿa_n}構成以3a₁=3為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
則3ⁿa_n=3+（n-1）×1=n+2，
所以，an=

n+2

3n

．
令f(x)=

x+2

3x

，則f′(x)=

3x-(x+2)•3x

32x

=

3x(-x-1)

32x

=

-x-1

3x

，
當x∈（0，+∞）時，f^′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
所以，an=

n+2

3n

在n=1時有最大值，最大值a1=

1+2

3

=1．
則數(shù)列{a_n}中項的最大值為1．
故答案為1．

點評：本題考查了由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項公式，考查了構造新數(shù)列的方法，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓練了由導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，此題是中檔題．