Question

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（

2

，0），右頂點為A（1，0）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）直線l經(jīng)過雙曲線C的右頂點A且斜率為k（k＞0），若直線l與雙曲線C的另一個交點為B，且

OA

•

OB

＞3（其中O為原點），求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)雙曲線的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由已知得

c= 2 a=1 c2=a2+b2

，由此能求出雙曲線C的方程．（2）直線l的方程為y=k（x-1），聯(lián)立

x2-y2=1 y=k(x-1)

，得（1-k²）x²+2k²x-k²-1=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵中心在原點的雙曲線C的右焦點為（

2

，0），右頂點為A（1，0），
∴設(shè)雙曲線的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
且

c= 2 a=1 c2=a2+b2

，解得a=b=1，
∴雙曲線C的方程為x²-y²=1．
（2）∵直線l經(jīng)過雙曲線C的右頂點A（1，0），且斜率為k（k＞0），
∴直線l的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立

x2-y2=1 y=k(x-1)

，得（1-k²）x²+2k²x-k²-1=0，
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

1-k2≠0 (2k2)2-4(1-k2)(-k2-1)＞0

，
解得k≠±1，
設(shè)B（x_B，y_B），由A（1，0），
得1+x_B=

2k2

k2-1

，x_B=

k2+1

k2-1

，
∵

OA

•

OB

＞3，
∴x_Ax_B+y_Ay_B=

k2+1

k2-1

＞3，
解得1＜k＜

2 3

3

或-

2 3

3

＜k＜-1．
∴故k的取值范圍為（-

2 3

3

，-1）∪（1，

2 3

3

）．

點評：本題考查雙曲線的方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量的數(shù)量積的合理運用．