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4.函數f(x)的定義域為R,其導函數為f′(x),對任意的x∈R,總有f(-x)+f(x)=$\frac{{x}^{2}}{2}$;當x∈(0,+∞)時,f′(x)<$\frac{x}{2}$,若f(4-m)-f(m)≥4-2m,則實數m的取值范圍是[2,+∞).

分析 令g(x)=f(x)-$\frac{1}{4}$x2,求出函數的奇偶性和單調性,問題轉化為g(4-m)≥g(m),根據函數的單調性求出m的范圍即可.

解答 解:令g(x)=f(x)-$\frac{1}{4}$x2
g′(x)=f′(x)-$\frac{x}{2}$,
當x∈(0,+∞)時,f′(x)<$\frac{x}{2}$,
∴g(x)在(0,+∞)遞減,
而g(-x)=f(-x)-$\frac{1}{4}$x2,
∴f(-x)+f(x)=g(-x)+$\frac{1}{4}$x2+g(x)+$\frac{1}{4}$x2=$\frac{{x}^{2}}{2}$,
∴g(-x)+g(x)=0,
∴g(x)是奇函數,g(x)在R遞減,
若f(4-m)-f(m)≥4-2m,
則f(4-m)-$\frac{1}{4}$(4-m)2≥f(m)-$\frac{1}{4}$m2,
∴g(4-m)≥g(m),
∴4-m≤m,解得:m≥2,
故答案為:[2,+∞).

點評 本題考查了函數的單調性、奇偶性問題,考查導數的應用,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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