Question

7．定義對于兩個(gè)量A和B，若A與B的取值范圍相同，則稱A和B能相互置換．例如f（x）=x+1，x∈[0，1]和$g（x）=2x-1，x∈[{1，\frac{3}{2}}]$，易知f（x）和g（x）能相互置換．
（1）已知f（x）=x²+bx+c對任意x∈Z恒有f（x）≥f（0），又$a=sinθ，θ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，判斷a與b能否相互置換．
（2）已知$f（x）=\frac{{{x^2}+kx+1}}{{{x^2}+x+1}}（{x＞0}）$對于任意正數(shù)a，b，c，f（a），f（b），f（c）能構(gòu)成三角形三邊，又$g（x）={2^x}-\frac{3}{2}，x∈[{m，n}]$，若k與g（x）能相互置換，求m+n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義，即函數(shù)的值域相同，由此即可判斷；
（2）利用三角形三邊的性質(zhì)，得f（a）+f（b）＞f（c），通過分類討論求得到三邊之間的關(guān)系不等式，解出不等式的解集，可得k的范圍，利用函數(shù)的值域相同，即可函數(shù)的值域相同，

解答 解：（1）已知f（x）=x²+bx+c對任意x∈Z恒有f（x）≥f（0），
即x²+bx≥0，對任意x∈Z恒成立，
∵$a=sinθ，θ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，∴a∈[-1，1]
∴a與b不能相互置換．
（2）：∵x²+x+1＞0恒成立，f（a），f（b），f（c）為三角形三邊，
∴f（x）＞0恒成立，即x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立
x=0時(shí)，結(jié)論成立；x＞0時(shí)，-k＜x+$\frac{1}{x}$，∵x＞0，∴x+$\frac{1}{x}$≥2
∴-k＜2
∴k＞-2
f（x）=1+$\frac{k-1}{x+\frac{1}{x}+1}$（x＞0）
由k＞-2
①當(dāng)k=1時(shí)，滿足題意；
②當(dāng)k＞1時(shí)，f（x）∈（1，1+$\frac{k-1}{3}$]，由題意知：1+1＞1+$\frac{k-1}{3}$，∴1＜k＜4
③當(dāng)k＜1時(shí)，f（x）∈[$\frac{2+k}{3}$，1），于是有2×$\frac{2+k}{3}$＞1，∴1＞k＞-$\frac{1}{2}$
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為-$\frac{1}{2}$＜k＜4．
又$g（x）={2^x}-\frac{3}{2}，x∈[{m，n}]$，k與g（x）能相互置換，即g（x）的值域?yàn)閇-$\frac{1}{2}$，4]，
∵g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，∴2^m-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$，2ⁿ-$\frac{3}{2}$=4，∴m=0，n=$lo{g}_{2}\frac{11}{2}$，
∴m+n=$lo{g}_{2}\frac{11}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查新定義，考查函數(shù)的值域，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．