Question

（2012•房山區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=x³-（1+b）x²+bx，b∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y-3=0平行，求b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求f（x）在區(qū)間[0，3]上的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數(shù)f′（x），由函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y-3=0平行，得f′（1）=-1，解出即得b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）寫出f（x），f′（x），解方程f′（x）=0，在區(qū)間[0，3]上，列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，由表可求得函數(shù)的最值；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2（1+b）x+b，
∵函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+y-3=0平行，
∴f′（1）=3-2（1+b）+b=-1，解得b=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³-3x²+2x，f′（x）=3x²-6x+2，
令f′（x）=3x²-6x+2=0，解得x1=1-

3

3

，x2=1+

3

3

．
在區(qū)間[0，3]上，x，f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	0	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	遞增	2 3 9	遞減	- 2 3 9	遞增	6

所以當x=3時，f（x）_max=6；當x=1+

3

3

時，f（x）_min=-

2 3

9

．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查學生的運算能力，解決本題的關鍵是準確求導，正確理解導數(shù)的幾何意義．