Question

設函數(shù)、，且f（x）存在兩個極值點、，其中.

（Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）求的最小值；

（Ⅲ）證明不等式：.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）f（x）存在兩個極值點，等價于其導函數(shù)有兩個相異零點；（2）先找出（x1－x2）的取值范圍，再利用g（x）的導函數(shù)可找出最小值；（3）適當構造函數(shù)，并注意x1與x2的關系，轉化為函數(shù)求最大值問題，證明相關不等式.

試題解析：（Ⅰ）由題：

∵函數(shù)存在兩個極值點、，且

∴關于的方程即在內有不等二實根

令、，則

由圖像可得即

∴實數(shù)的取值范圍是

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

∴

∴

由得

∴當時，，即在單調遞減；

當時，，即在單調遞增

∴

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

∴

令，則且

令，則

∴

∵

∴即在上是減函數(shù)

∴

∴在上是增函數(shù)

∴即

考點：導函數(shù)，函數(shù)的單調性，最值，不等式證明