Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，G分別是AA₁，D₁C，AD的中點．
求證：（1）MN∥平面ABCD；
（2）設(shè)α是過MN的任一平面，求證：α⊥平面B₁BG．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CD的中點E，連接NE，AE，可證得MNEA為平行四邊形，從而有MN∥AE，利用線面平行的判定定理即可證得MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）由△BAG≌△ADE易證AE⊥BG，由B₁B⊥平面ABCD可得B₁B⊥AE，從而可證得AE⊥平面B₁BG，而MN∥AE，利用面面垂直的判定定理即可使結(jié)論得證．．

解答：解：（Ⅰ）取CD的中點E，連接NE，AE，…1′

N為CD1的中點 E為CD的中點

⇒NE∥MA且NE=MA…2′
∴MNEA為平行四邊形，…3′
∴MN∥AE，…4′

MN∥AE 又MN?平面ABCD AE?平面ABCD

⇒MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）在正方形ABCD中，易證△BAG≌△ADE…7′
∴∠DAE+∠AGB=∠ABG+∠AGB=90°…8′
∴AE⊥BG…9′
又

BB1平面ABCD AE?平面ABCD

⇒B₁B⊥AE…10′

AE⊥BG B1B⊥AE BG∩B1B=B

⇒AE⊥平面B₁BG…12′
又MN∥AE，
∴MN⊥平面B₁BG，又MN?α，
∴α⊥平面B₁BG…13′

點評：本題考查直線與平面平行與垂直，掌握直線與平面平行與垂直的判定定理是解決問題的關(guān)鍵，考查學(xué)生分析與推理的能力，屬于中檔題．