Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點A（n，）（n∈N）總在直線y=x+上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=（n∈N），試問數(shù)列{b_n}中是否存在最大項，如果存在，請求出；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用點A（n，）（n∈N）總在直線y=x+上，可得S_n=，再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=n+1，可知，猜想{b_n+1}遞減，即猜想當(dāng)n≥2時，，再進行證明，從而可得數(shù)列{b_n}的最大項．
解答：解：（Ⅰ）∵點A（n，）（n∈N）總在直線y=x+上，
∴，∴S_n=…（2分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（）-[]=n+1…（4分）
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2滿足上式
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n+1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=n+1，可知 …（6分）
==b₂，，，
所以，b₂＞b₁=b₃＞b₄ …（8分）
猜想{b_n+1}遞減，即猜想當(dāng)n≥2時，…（10分）
考察函數(shù)，則y′=，
∵x＞e，∴l(xiāng)nx＞1，∴y′＜0，
∴在（e，+∞）上是減函數(shù)，而n+1≥3＞e…（12分）
∴＜，即．
∴猜想正確，
因此，數(shù)列{b_n}的最大項是．…（13分）
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，正確求通項，確定數(shù)列的單調(diào)性是關(guān)鍵．