
解:(1)以AB的中點為原點,AB所在直線為x軸建立直角坐標系.
∵|CA|+|CB|=4[(1分)]
不難知道:曲線E是以A,B為兩焦點、長軸長為4的橢圓.
故曲線E的方程為

,
(2)設線段QA的中點為P(x,y),∵A(-1,0),
∴Q(2x+1,2y)[(5分)]
∵點Q在曲線E上,故可得:

[(7分)]
即線段QA中點的軌跡方程為

[(8分)]
(3)設直線CM和CN的斜率分別為k,-k
直線CM的直線方程為

代入曲線E的方程,得

[(9分)]
由韋達定理:

,

∴

同理

[(10分)]
而

,

∴

故直線MN的斜率為定值

[(12分)]
(4)設D(a,b),當直線DM和DN的傾斜角都為90°時,直線MN即為D'(a,-b)處的切線,則直線MN的斜率為定值

分析:(1)由于曲線E上任一點到A,B兩點的距離之和不變,所以其軌跡是橢圓,求方程先建立坐標系,從而可求;
(2)先假設線段QA中點的坐標P,利用中點坐標公式得出P,Q坐標之間的關系,再結合(1)求出線段QA中點的軌跡方程;
(3)由于直線CM和CN的傾斜角互補,所以可設直線CM和CN的斜率分別為k,-k,再結合M,N是曲線E上不同的兩點,可知直線MN的斜率是定值;
(4)利用極限位置考慮:當直線DM和DN的傾斜角都為90°時,直線MN即為D'(a,-b)處的切線.
點評:本題主要考查曲線軌跡方程的求解,涉及定義法、代入法等,同時解決了定值問題.