Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=x²的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

an•an+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（ I）由點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²的圖象上，可得Sn=n2．利用遞推式即可得出a_n；
（ II）由bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（ I）∵點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²的圖象上，
∴Sn=n2．
∴當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又a₁=1滿足a_n=2n-1，
∴a_n=2n-1．
（ II）∵bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．