Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，其中a＞0．
（1）若直線y=kx-1與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（1，0），求a，k的值
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出k的值，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=a=k=1；（2）解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）直線y=kx-1與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（1，0），
將x=1，y=0代入y=kx-1解得：k=1，
∵f（x）=$\frac{a（x-1）}{{x}^{2}}$，∴f′（x）=$\frac{a（2-x）}{{x}^{3}}$，
∴f′（1）=a=k=1，
故a=k=1；
（2）f′（x）=$\frac{a（2-x）}{{x}^{3}}$，a＞0，x≠0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2且，令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0），（2，+∞）遞減，在（0，2）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及曲線的切線方程問(wèn)題，是一道中檔題．