Question

11．已知函數(shù)f（x）=2xlnx-x²+2ax，其中a＞0．
（1）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g（x）的極值；
（2）是否存在常數(shù)a，使得x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≤0恒成立，且f（x）=0有唯一解，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，求得g（x）=2lnx+2-2x+2a，（x＞0）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得函數(shù)g（x）的極值；
（2）由（1）可知：必然存在x₀＞1，使得f（x）在（1，x₀）單調(diào)遞增，（x₀，+∞）單調(diào)遞減，且f′（x₀）=0，求得a的表達(dá)式，存在a使得f（x）_max=f（x₀）=0，代入即可求得x₀，即可求得a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2xlnx-x²+2ax，（x＞0）求導(dǎo)，g（x）=f′（x）=2lnx+2-2x+2a，（x＞0）
g′（x）=$\frac{2}{x}$-2=-$\frac{2（x-1）}{x}$，（x＞0）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，
g（x）在（0，1）單調(diào)遞增；在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，取極大值，極大值為g（1）=2a，無極小值；
（2）由（1）知：f′（1）=2a＞0，且f′（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，且x→+∞時(shí)，f′（x）＜0，
則必然存在x₀＞1，使得f（x）在（1，x₀）單調(diào)遞增，（x₀，+∞）單調(diào)遞減；
且f′（x₀）=2lnx₀+2-2x₀+2a=0，即a=-lnx₀-1+x₀，①
此時(shí)：當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，由題意知：只需要找實(shí)數(shù)a使得f（x）_max=f（x₀）=0，
f（x₀）=2x₀lnx₀-x₀²+2ax₀，將①式代入知：
f（x₀）=2x₀lnx₀-x₀²+2ax₀=2x₀lnx₀-x₀²+2x₀（-lnx₀-1+x₀）=x₀²-2x₀=0，
得到x₀=2，從而a=-lnx₀-1+x₀=1-ln2，
∴a的值為1-ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及極值的關(guān)系，不等式恒成立，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．