Question

設{a_n}是公比q＞1的等比數列，若a₂₀₀₅和a₂₀₀₆是方程4x²-8x+3=0的兩個根，則a₂₀₀₇+a₂₀₀₈=    ．

Answer 1

【答案】分析：先利用一元二次方程的根與系數的關系得到以a₂₀₀₅+a₂₀₀₆=-=2和a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=；再把所得結論用a₂₀₀₅和q表示出來，求出q；最后把所求問題也用a₂₀₀₅和q表示出來即可的出結論．
解答：解：設等比數列的公比為q．
因為a₂₀₀₅和a₂₀₀₆是方程4x²-8x+3=0的兩個根
所以a₂₀₀₅+a₂₀₀₆=-=2，a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=．
∴a₂₀₀₅（1+q）=2    ①
a₂₀₀₅•a₂₀₀₅•q=    ②
∴==，
又因為q＞1，所以解得q=3．
∴a₂₀₀₇+a₂₀₀₈=a₂₀₀₅•q²+a₂₀₀₅•q³
=a₂₀₀₅•（1+q）•q²=2×3²=18．
故答案為：18．
點評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數的關系以及等比數列的性質．在解決本題的過程中用到了整體代入的思想，當然本題也可以求出首項和公比再代入計算．