Question

設F₁，F(xiàn)₂為橢圓x²+4y²=4m（m＞0）的兩個焦點，點P在橢圓上，且滿足

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|•|

PF2

|=2則m的值為

1

．

Answer 1

分析：將橢圓x²+4y²=4m化成標準方程，并結合橢圓定義，得|

PF1

|+|

PF2

|=4

m

，由已知|

PF1

|•|

PF2

|=2化簡整理，即可得到|

PF1

|²+|

PF2

|²=16m-4．再根據(jù)

PF1

•

PF2

=0，得△PF₁F₂是以F₁F₂為斜邊的直角三角形，利用勾股定理列式得|

PF1

|²+|

PF2

|²=12m，將得到的式子進行對照，即可解出m的值．

解答：解：橢圓x²+4y²=4m化成標準方程，得

x2

4m

+

y2

m

=1
∴a²=4m，b²=m，得a=2

m

，b=

m

∵點P在橢圓上，∴|

PF1

|+|

PF2

|=2a=4

m

…①
①式平方，得|

PF1

|²+|

PF2

|²+2|

PF1

|•|

PF2

|=16m
∵|

PF1

|•|

PF2

|=2，∴|

PF1

|²+|

PF2

|²=16m-4…②
∵

PF1

•

PF2

=0，∴

PF1

⊥

PF2

，得△PF₁F₂是以F₁F₂為斜邊的直角三角形
∴|

PF1

|²+|

PF2

|²=|

F1F2

|²=4c²=4a²-4b²=12m…③
．比較②③，可得16m-4=12m，解之得m=1
故答案為：1

點評：本題給出含有字母參數(shù)的橢圓方程，在焦點三角形是直角三角形且已知兩條直角邊之積的情況下，求參數(shù)的值，著重考查了橢圓的定義與標準方程、橢圓的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．