Question

已知數(shù)列{a_n^}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），且a₄=81
（1）求數(shù)列的前三項a₁、a₂、a₃的值；
（2）是否存在一個實數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由；求數(shù)列a_n通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把n=3，2，1代入a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），再借助于a₄=81，即可求出數(shù)列的前三項；
（2）先假設存在一個實數(shù)λ符合題意，得到必為與n無關的常數(shù)，整理即可求出實數(shù)λ，進而求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
解答：解：（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）⇒a₄=2a₃+2⁴-1=81⇒a₃=33
同理可得a₂=13，a₁=5（3分）
（2）假設存在一個實數(shù)λ符合題意，則必為與n無關的常數(shù)
∵（5分）
要使是與n無關的常數(shù)，則，得λ=-1
故存在一個實數(shù)λ=-1，使得數(shù)列為等差數(shù)列（8分）
由（2）知數(shù)列的公差d=1，∴
得a_n=（n+1）•2ⁿ+1（13分）
點評：本題主要考查數(shù)列遞推關系式的應用以及等差關系的確定．解決第二問的關鍵在于由數(shù)列為等差數(shù)列，得到必為與n無關的常數(shù)，進而求出對應實數(shù)λ的值．