Question

7．在四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（2，0），$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}$，則四邊形ABCD的面積是（　�。�

• A． $2\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先判斷四邊形ABCD是平行四邊形，再判斷平行四邊形ABCD是菱形，求出它的面積即可．

解答 解：在四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（2，0），
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
又∵$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}$，
∴平行四邊形ABCD的角平分線BD平分∠ABC，
四邊形ABCD是菱形，其邊長為2，對角線BD等于2，
∴cos∠ABC=cos120°=-$\frac{1}{2}$，如圖所示；
∴sin∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_ABCD=2×$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•sin∠ABC=2×$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的應用問題，解題時應先判斷四邊形的形狀，考查四邊形面積的求法，屬于中檔題．