在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點，求證：平面MNP∥平面A1BD．

答案：
解析：

　　分析1：由于M、N、P都為中點，故添加B1C、B1D1作為聯(lián)系的橋梁．

　　證法1：如圖，連結B1D1、B1C．

　　∵P、N分別是D1C1、B1C1的中點，

　　∴PN∥B1D1．

　　又B1D1∥BD，∴PN∥BD．

　　又PN面A1BD，∴PN∥平面A1BD．

　　同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，

　　∴平面PMN∥平面A1BD．

　　分析2：易證AC1⊥平面PMN．

　　證法2：如圖，連AC1、AC．

　　∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，

　　∴AC⊥BD．

　　又CC1⊥面ABCD，

　　∴AC為AC1在面ABCD上的射影，

　　∴AC1⊥BD．

　　同理可證AC1⊥A1B，

　　∴AC1⊥平面A1BD．

　　同理可證AC1⊥平面PMN，

　　∴平面PMN∥平面A1BD．


提示：

本例的證明體現(xiàn)了證明面面平行的兩種常用的方法，解決此類問題關鍵是選擇或添加適當?shù)妮o助線(或面)，使問題得以轉化．


練習冊系列答案
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5
10
B、
10
10
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5
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3
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1
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D、
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（Ⅰ）求證：OM為異面直線AA′和BD′的公垂線；

（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大�。�  

 

 

 

 

 

 

 

 

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