Question

20．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為$（{2\sqrt{5}，0}）$，且漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線焦點(diǎn)的坐標(biāo)分析可得其焦點(diǎn)在x軸上，且c=2$\sqrt{5}$，可以設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，結(jié)合題意可得²+b²=20，①以及$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，②，聯(lián)立兩個(gè)式解可得a²=16，b²=4，代入所設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程中即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，要求雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為$（{2\sqrt{5}，0}）$，則其焦點(diǎn)在x軸上，且c=2$\sqrt{5}$，
可以設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
又由c=2$\sqrt{5}$，則a²+b²=20，①
其漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，則有$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，②
聯(lián)立①、②可得：a²=16，b²=4，
故要求雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的計(jì)算，可以用待定系數(shù)法分析．