Question

求下列函數(shù)的定義域和值域：
（1）y=x+

2x+1

+1；
（2）y=

3x2+3x+1

x2+x+1

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶次根式的被開方數(shù)大于等于0建立關系式，解之即可求定義域，然后利用換元法可求函數(shù)的值域；
（2）根據(jù)分式函數(shù)的分母不等于0可求出函數(shù)的定義域，利用判別式法求函數(shù)的值域即可．

解答：解：（1）2x+1≥0，解得x≥-

1

2

∴y=x+

2x+1

+1的定義域為[-

1

2

，+∞）
設

2x+1

=t，t≥0則x=

t2-1

2

∴y=

t2-1

2

+t+1=

1

2

t2+t+

1

2

=

1

2

（t+1）²≥

1

2

，當t=0時取等號
故函數(shù)y=x+

2x+1

+1的值域為[

1

2

，+∞）
（2）x²+x+1恒大于0，故定義域為R
y=

3x2+3x+1

x2+x+1

可變形成（y-3）x²+（y-3）x+y-1=0
當y≠3時，關于x的方程有解即△=（y-3）²-4（y-3）（y-1）≥0
解得

1

3

≤y＜3
當y=3時，方程無解
故函數(shù)的定義域為R，值域為[

1

3

，3）

點評：本題主要考查了函數(shù)的定義域和值域，以及利用換元法和判別式法求函數(shù)的值域，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．