【題目】離心率的橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上.過點的斜率為的直線與橢圓交于點、，且滿足.

（1）固定，當的面積取得最大值時，求橢圓的方程；

（2）若變化，且，試問：實數(shù)和分別為何值時，橢圓的長軸長取得最大值？并求出此時橢圓的方程.

【答案】（1）（2）當，時，橢圓的長軸長取得最大值.此時，橢圓方程為

【解析】

設橢圓方程為.則由，得.

從而，橢圓方程化為.

設，且與橢圓的兩個交點的坐標分別為、.

由，得 ①

聯(lián)立直線和橢圓的方程得.

則，且

， ②

. ③

由式①、②得.

（1）當固定時，

，

其中，當且僅當，即時，上式等號成立.

此時，.

結(jié)合式①得，.

代入式③得.

此時，橢圓的方程為.

（2）由式①、②得

，

.

代入式③得

.

由，，得.

易知，當時，是的減函數(shù)，當時，取得最大值.

因此，當，時，橢圓的長軸長取得最大值.此時，橢圓方程為.

練習冊系列答案
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【題目】某電商在雙十一搞促銷活動，顧客購滿5件獲得積分30分（不足5件不積分），每多買2件再積20分（不足2件不積分），比如某顧客購買了12件，則可積90分.為了解顧客積分情況，該電商在某天隨機抽取了1000名顧客，統(tǒng)計了當天他們的購物數(shù)額，并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，九組，整理得到如圖頻率分布直方圖.

（1）求直方圖中的值；

（2）從當天購物數(shù)額在，的顧客中按分層抽樣的方式抽取6人.那么，從這6人中隨機抽取2人，則這2人積分之和不少于240分的概率.

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【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

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（Ⅱ）當時，計論函數(shù)的極值點個數(shù).

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【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.

（1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；

（2）水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系:

年入流量

發(fā)電量最多可運行臺數(shù)

1

2

3

若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發(fā)電機多少臺？

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【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】已知點，圓.

（1）若直線過點且到圓心的距離為，求直線的方程；

（2）設過點的直線與圓交于、兩點（的斜率為負），當時，求以線段為直徑的圓的方程.

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【題目】為了解某苗圃基地的柏樹幼苗生長情況，在這些樹苗中隨機抽取了120株測量高度（單位：cm），經(jīng)統(tǒng)計，樹苗的高度均在區(qū)間內(nèi)，將其按，，，，， 分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.據(jù)當?shù)匕貥涿缟L規(guī)律，高度不低于27cm的為優(yōu)質(zhì)樹苗.

（1）求圖中的值；

（2）用樣本估計總體，頻率代替概率，若從這批樹苗中隨機抽取4株，其中優(yōu)質(zhì)樹苗的株數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

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（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，，求證：.

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若點在函數(shù)的圖象上運動，直線與函數(shù)的圖象不相交，求點到直線距離的最小值；

（Ⅱ）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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