Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n+log 

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）根據(jù)a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)和a₂+a₃+a₄=28，求出a₃、a₂+a₄的值，進(jìn)而得出首項(xiàng)和a₁，即可求得通項(xiàng)公式；
（II）先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后分組求和，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)
∴2（a₃+2）=a₂+a₄
代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8
∴a₂+a₄=20
解得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

∵數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增
∴a_n=2ⁿ
（II）∵a_n=2ⁿ，
∴b_n=a_n+log 

1

2

a_n=a_n-n，
∴S_n=

2(1-2n)

1-2

-

n(1+n)

2

=2ⁿ⁺¹-2-

n(1+n)

2

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．