Question

如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，ED=2

2

，M為CE的中點，N為CD中點．
（1）求證：平面BMN∥平面ADEF；
（2）求證：平面BCE⊥平面BDE；
（3）求點D到平面BEC的距離．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由MN∥ED，得MN∥平面ADEF，得平面BMN∥平面ADEF；
（2）由題意得ED⊥BC，得BC⊥BD，從而得BC⊥平面BDE．進而平面BCE⊥平面BDE，
（3）設點D到平面BEC的距離為h，轉化為V_D-BEC=V_E-BCD，從而求出h的值．

解答： （1）證明：在△EDC中，M，N分別為EC，DC的中點，
所以MN∥ED，又DE?平面ADEF，且MN?平面ADEF，
所以MN∥平面ADEF；
因為N為CD中點，AB∥CD，AB=2，CD=4，
所以四邊形ABND為平行四邊形，所以BN∥DA，
又DA?平面ADEF，且BN?平面ADEF，
所以BN∥平面ADEF，
∵BN∩MN=N，EN，MN?面BMN，
∴平面BMN∥平面ADEF；
（2）證明：在矩形ADEF中，ED⊥AD．又
因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2

2

．
在△BCD中，BD=BC=2

2

，CD=4，因為BD²+BC²=CD²，
所以BC⊥BD．
因為BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE．
因為BC?面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE，
（3）設點D到平面BEC的距離為h，
則V_D-BEC=V_E-BCD，
求得h=2．

點評：本題考查了面面平行，面面垂直的判定，考查轉化思想，是一道綜合題．