Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax，a為常數(shù)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A處的切線(xiàn)斜率為-1，求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（3）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x²＜e^x．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，f′（x）=e^x-a≥0在[0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（3）構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-x²，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究是的單調(diào)性和極值即可證明當(dāng)x＞0時(shí)，x²＜e^x．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-ax，得f′（x）=e^x-a．
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則f′（x）=e^x-a≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴a≤1    （4分）
（2）因?yàn)閒（x）=e^x-ax，
所以f（0）=1，即A（0，1），
由f（x）=e^x-ax，得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，得a=2．
所以f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
令f′（x）=0，得x=ln2．當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x=ln2時(shí)，f（x）取得極小值，且極小值為f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4，f（x）無(wú)極大值．    （9分）
證明：（3）令g（x）=e^x-x²，則g′（x）=e^x-2x．
由（2）得g′（x）=f（x）≥f（ln2）＞0，
故g（x）在R上單調(diào)遞增，又g（0）=1＞0，
因此，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）＞0，
即x²＜e^x．    （14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系求出a的值是解決本題的關(guān)鍵．利用構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是證明不等式的常用方法．