Question

已知函數f(x)＝－x²－3x－．

(1)求圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、與x軸的交點坐標；

(2)求函數的單調區(qū)間、最值和零點；

(3)設圖象與x軸相交于(x₁，0)、(x₂，0)，不求出根，求|x₁－x₂|；

(4)已知f(－)＝，不計算函數值，求f(－)；

(5)不計算函數值，試比較f(－)與f(－)的大�。�

(6)寫出使函數值為負數的自變量x的集合．

Answer 1

答案：
解析：

思路解析：討論二次函數的性質一般要明確其圖象的開口方向、對稱軸、頂點、與x軸的交點，求頂點可以用配方法，也可以直接用頂點公式(－，)，求與x軸的交點可借助配方法或直接使用求根公式x＝(b2－4ac≥0)．畫函數圖象時，一般要標注對稱軸、頂點、與x軸的交點．下面我們選用配方法解答本題． 　　解：y＝－x2－3x－＝－(x2＋6x＋5) 　�。剑�(x2＋6x＋9－9＋5) 　�。剑�[(x＋3)2－4] 　�。剑�(x＋3)2＋2． 　　令y＝0，得(x＋3)2＝4． 　　∴x1＝－5，x2＝－1． 　　(1)開口向下，對稱軸為直線x＝－3，頂點坐標為(－3，2)，與x軸的交點為(－5，0)，(－1，0); 　　(2)單調增區(qū)間為(－∞，－3)，單調減區(qū)間為(－3，＋∞)，有最大值為2，無最小值，零點為－5，－1; 　　(3)x1、x2是方程－x2－3x－＝0，即方程x2＋6x＋5＝0的兩個根，由根與系數的關系得x1＋x2＝－6，x1x2＝5． 　　∴|x1－x2|＝; 　　(4)∵對稱軸x＝－3， 　　∴f(－3＋x)＝f(－3－x)． 　　∴f(－)＝f(－3＋)＝f(－3－)＝f(－)＝; 　　(5)f(－)＝f(－3－)＝f(－3＋)＝f(－)， 　　∵－、－∈(－3，＋∞)，而f(x)在(－3，＋∞)上是減函數，且－＞－， 　　∴f(－)＜f(－)，即f(－)＜f(－); 　　(6){x|x＜－5或x＞－1}．

提示：

討論二次函數的性質一定要結合二次函數的圖象，為了方便，通常畫草圖，有時可以省去y軸，利用單調性比較兩個函數值的大小，關鍵是利用對稱性將它們轉化到同一單調區(qū)間上，這里體現了數形結合及轉化化歸等重要數學思想．