已知函數(shù).
⑴ 求函數(shù)的單調區(qū)間;
⑵ 如果對于任意的,
總成立,求實數(shù)
的取值范圍;
⑶ 設函數(shù),
. 過點
作函數(shù)
圖像的所有切線,令各切點的橫坐標構成數(shù)列
,求數(shù)列
的所有項之和
的值.
(1) .;(2)
.(3)
.
【解析】
試題分析:(1)利用求導的基本思路求解,注意導數(shù)的四則運算;(2)利用轉化思想將問題轉化為總成立,只需
時
.借助求導,研究
的性質,通過對參數(shù)k的討論和單調性的分析探求實數(shù)
的取值范圍;(3)化簡函數(shù)
,利用導數(shù)的幾何含義求解曲線的切線方程,化簡得到
,分析得到
,
,則這兩個函數(shù)的圖像均關于點
對稱進行求解數(shù)列
的所有項之和
的值.
試題解析:(1) 由于,所以
. (2分)
當,即
時,
;
當,即
時,
.
所以的單調遞增區(qū)間為
,
單調遞減區(qū)間為. (4分)
(2) 令,要使
總成立,只需
時
.
對求導得
,
令,則
,(
)
所以在
上為增函數(shù),所以
. (6分)
對分類討論:
① 當時,
恒成立,所以
在
上為增函數(shù),所以
,即
恒成立;
② 當時,
在上有實根
,因為
在
上為增函數(shù),
所以當時,
,所以
,不符合題意;
③ 當時,
恒成立,所以
在
上為減函數(shù),則
,不符合題意.
綜合①②③可得,所求的實數(shù)的取值范圍是
. (9分)
(3) 因為,所以
,
設切點坐標為,則斜率為
,
切線方程為,
(10分)
將的坐標代入切線方程,得
,即
,
令,
,則這兩個函數(shù)的圖像均關于點
對稱,
它們交點的橫坐標也關于對稱成對出現(xiàn),方程
,
的根即所作的所有切線的切點橫坐標構成的數(shù)列
的項也關于
對稱成對出現(xiàn),在
內共構成1006對,每對的和為
,因此數(shù)列
的所有項的和
. (12分)
考點:1.函數(shù)與導數(shù)的綜合應用能力;2.用導數(shù)來描述函數(shù)的單調性、極值以及函數(shù)零點的情況.
科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年山東濟南外國語高三上學期期中考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)在區(qū)間
上的函數(shù)值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年山東濟南外國語高三上學期期中考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)在區(qū)間
上的函數(shù)值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年江蘇省南京市、鹽城市高三第一次模擬考試數(shù)學(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期;
(2)求函數(shù)在區(qū)間
上的函數(shù)值的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2006-2007學年江蘇省常州高級中學高一(上)期中數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
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