已知函數(shù).

⑴ 求函數(shù)的單調區(qū)間;

⑵ 如果對于任意的,總成立,求實數(shù)的取值范圍;

⑶ 設函數(shù),. 過點作函數(shù)圖像的所有切線,令各切點的橫坐標構成數(shù)列,求數(shù)列的所有項之和的值.

 

【答案】

(1) .;(2) .(3) .

【解析】

試題分析:(1)利用求導的基本思路求解,注意導數(shù)的四則運算;(2)利用轉化思想將問題轉化為總成立,只需.借助求導,研究的性質,通過對參數(shù)k的討論和單調性的分析探求實數(shù)的取值范圍;(3)化簡函數(shù),利用導數(shù)的幾何含義求解曲線的切線方程,化簡得到,分析得到,,則這兩個函數(shù)的圖像均關于點對稱進行求解數(shù)列的所有項之和的值.

試題解析:(1) 由于,所以

.                          (2分)

,即時,;

,即時,.

所以的單調遞增區(qū)間為,

單調遞減區(qū)間為.                                                             (4分)

(2) 令,要使總成立,只需.

求導得

,則,()

所以上為增函數(shù),所以.                                                (6分)

分類討論:

 

① 當時,恒成立,所以上為增函數(shù),所以,即恒成立;

② 當時,在上有實根,因為上為增函數(shù),

所以當時,,所以,不符合題意;

③ 當時,恒成立,所以上為減函數(shù),則,不符合題意.

綜合①②③可得,所求的實數(shù)的取值范圍是.                                                       (9分)

 (3) 因為,所以

設切點坐標為,則斜率為,

切線方程為,                        (10分)

的坐標代入切線方程,得

,即,                                      

,,則這兩個函數(shù)的圖像均關于點對稱,

它們交點的橫坐標也關于對稱成對出現(xiàn),方程,

的根即所作的所有切線的切點橫坐標構成的數(shù)列的項也關于對稱成對出現(xiàn),在內共構成1006對,每對的和為,因此數(shù)列的所有項的和. (12分)

考點:1.函數(shù)與導數(shù)的綜合應用能力;2.用導數(shù)來描述函數(shù)的單調性、極值以及函數(shù)零點的情況.

 

練習冊系列答案
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問題2:已知函數(shù),求f(-2007)+f(-2006)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2007)+f(2008)的值.

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