Question

（理）數(shù)列{a_n}中，，，n∈N^*．
求證：（1）0＜a_n＜1；
（2）a_n＜a_n+1；
（3）．（n≥2）
（參考公式：）

Answer 1

證明：（1）（2）①n=1時，a₁=，
由于條件，
∴a₂=sin（ a₁）=sin =．
∴0＜a₁＜a₂＜1，故結(jié)論成立．
②假設n=k時結(jié)論成立，
即0＜a_k＜a_k+1＜1，
則0＜a_k＜a_k+1＜．
∴0＜sin（ a_k）＜sin（ a_k+1）＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是說n=k+1時，結(jié)論也成立．
由①②可知，對一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．
（3）∵1＜1+a _n-1＜2，
∴＜（1+a _n-1）＜，
又a_n＜a_n+1，
∴1+a _n-1≥1+a₁，（n≥2）
∴（1+a _n-1）≥（1+a₁）=，
∴1-a _n=sin-sin（a _n-1）=2cos[（1+a _n-1）]sin[（1-a _n-1）]＜sin[（1-a _n-1）]
∵0＜[（1-a _n-1）]＜，又θ是銳角時，sinθ＜θ，
∴sin[（1-a _n-1）]＜（1-a _n-1）
∴．（n≥2）．
分析：（1）、（2）前兩小問可一起進行證明．先看當n=1時，可求得a₂，則可驗證結(jié)論成立；假設n=k時結(jié)論成立，根據(jù)0＜a_k＜a_k+1＜1，推斷出0＜a_k＜a_k+1＜．進而可知0＜sin（ a_k）＜sin（ a_k+1）＜1，即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，結(jié)論成立，最后綜合可知（1）（2）成立．
（3）由于1＜1+a _n-1＜2，結(jié)合（1）（2）中的結(jié)論得出（1+a₁）的取值范圍，從而1-a _n=sin-sin（a _n-1）=2cos[（1+a _n-1）]sin[（1-a _n-1）]＜sin[（1-a _n-1）]，根據(jù)0＜[（1-a _n-1）]＜，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)sinθ＜θ即可證得結(jié)論．
點評：本題主要考查了數(shù)列遞推式、數(shù)列與不等式的綜合、不等式證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．