Question

已知圓C的方程為x²+y²+6x-8y=0，直線l：y=kx+2k+1．
（Ⅰ）當k=2時，求圓C關于直線l對稱的圓M的方程；
（Ⅱ）求直線l被圓M截得的弦長的最大值和最小值，并求出相應的直線l的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）求出圓C關于直線l對稱的點的坐標，即可求出圓C關于直線l對稱的圓M的方程；
（Ⅱ）當直線l過圓心M時，弦長的最大；當直線l過P且與PM垂直時，弦長最�。�

解答： 解：（Ⅰ）圓C的方程為x²+y²+6x-8y=0，可化為（x+3）²+（y-4）²=25，則圓心C（-3，4），半徑為5．
當k=2時，直線l：y=2x+5，
設M（a，b），則

b-4 a+3 ×2=-1 b+4 2 =2× a-3 2 +5

，
∴a=1，b=2，
∴圓M的方程為（x-1）²+（y-2）²=25；
（Ⅱ）直線l的方程可化為y-1=k（x+2），恒過定點P（-2，1），在圓內(nèi)．
當直線l過圓心M時，弦長的最大值為直徑10，此時l的方程為y-1=

2-1

1+2

（x+2），即x-3y+5=0；
當直線l過P且與PM垂直時，弦長最小，此時|PM|=

10

，最小為2

52-10

=2

15

，l的方程為3x+y+5=0．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．